一、空瓶能換多少水
（1）空瓶換水問(wèn)題基本題型。
我們一起來(lái)看一下空瓶換水問(wèn)題當(dāng)中的基本題型，有N個(gè)空瓶可以換1瓶水，現(xiàn)在有M個(gè)空瓶，可以免費(fèi)喝到多少水?
做這種問(wèn)題，重要的一步是要“瓶”，“水”分離，我們拿例子來(lái)看一下。
【例1】3個(gè)啤酒空瓶可以換1瓶啤酒，現(xiàn)有14個(gè)啤酒空瓶，最多可以免費(fèi)喝到啤酒為？( )
A.2瓶 B.4瓶 C.7瓶 D.8瓶
【解析】答案：C。
方法一：現(xiàn)有有啤酒空瓶14個(gè)，每3個(gè)空瓶可以換1瓶酒，則首先可以換14÷3=4瓶酒余2空瓶，4瓶酒又產(chǎn)生4個(gè)空瓶，則共剩下4+2=6個(gè)空瓶，還可以再換6÷3=2瓶酒，這2瓶酒又可以產(chǎn)生2個(gè)空瓶，但無(wú)法直接換酒，這時(shí)我們可以考慮先借1個(gè)空瓶，換完酒后再將空瓶返還，所以共計(jì)喝酒4+2+1=7瓶酒。
如果將瓶與酒分離該怎么做：
方法二：3個(gè)空瓶可換1瓶啤酒，我們需要喝到的是其中的酒，所以將瓶與酒分離。構(gòu)成等式：3空瓶=1瓶酒，也就是3空瓶=1空瓶+1酒，整理一下，2空瓶=1酒，所以?xún)蓚€(gè)空瓶就可以喝到1酒而不產(chǎn)生額外的空瓶，所以共可以喝酒14÷2=7瓶酒，所以選擇C選項(xiàng)。
那么大家之后再做類(lèi)似問(wèn)題的時(shí)候，就可以利用第二種思路去做。
我們將其整理成公式，可免費(fèi)換到的酒=M/(N-1)。
【例2】某商店規(guī)定每4個(gè)空啤酒瓶可以換1瓶啤酒，小明家買(mǎi)了24瓶啤酒，小明家前后最多能喝到多少瓶啤酒?( )
A.30 B.31 C.32 D.33
【解析】答案：C。24瓶啤酒喝完后可得空瓶24瓶，所以通過(guò)4個(gè)空瓶換一瓶啤酒可以喝到免費(fèi)啤酒24÷(4-1)=8，所以共可以喝到24+8=32瓶啤酒。
（2）空瓶換水問(wèn)題的變形問(wèn)題
【例題3】5個(gè)汽水空瓶可以換一瓶汽水，某班同學(xué)喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來(lái)的空瓶換的，那么他們至少需要買(mǎi)汽水多少瓶?( )
A.129 B.128 C.127 D.126
【解析】答案：A。共喝到打的汽水161瓶，其中包括自己買(mǎi)的以及汽水空瓶換的，通過(guò)“瓶”，“水”分離我們可以得知5空瓶=1瓶汽水，也就是5空瓶=1空瓶+1汽水，整理可以得到4空瓶=1汽水。設(shè)自己買(mǎi)的汽水為x，可以得到x+x/4=161，x=128.8，我們知道買(mǎi)的汽水需要是整數(shù)瓶，所以至少需要買(mǎi)129瓶汽水。
二、排列還是組合，你分的清嗎？
【例1】某公司有A、B兩個(gè)部門(mén)，各部門(mén)均有8名員工。公司決定派遣A部門(mén)中的兩名員工去參加培訓(xùn)，共有( )種不同的派遣方式。
A.28 B.42 C.56 D.63
【詳解】答案：A。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們應(yīng)該用排列數(shù)還是組合數(shù)計(jì)算呢?判定的方法就是：改變?cè)氐倪x取順序，看對(duì)結(jié)果是否產(chǎn)生影響。如果有影響就應(yīng)該用排列數(shù)，反之無(wú)影響，則用組合數(shù)計(jì)算。
第一問(wèn)中要從A部門(mén)的8名員工里選擇2名去總部。假如我們選取的兩個(gè)人是甲和乙，此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，改變選取的順序：無(wú)論是先選甲后選乙，還是先選乙后選甲，最后都是甲和乙兩人參訓(xùn)，改變順序?qū)Y(jié)果并未產(chǎn)生影響，所以應(yīng)該采用組合數(shù)運(yùn)算，共有種派遣方式，故選A。
【例2】某公司有A、B兩個(gè)部門(mén)，各部門(mén)均有8名員工。公司打算從B部門(mén)中選擇兩位員工分別擔(dān)任部長(zhǎng)和副部長(zhǎng)，共有( )種不同的選擇方式。
A.28 B. 42 C. 56 D. 63
【詳解】答案：C。這道題公司要從B部門(mén)的8名員工里選擇2名分別擔(dān)任正副部長(zhǎng)。假如我們選取的兩個(gè)人是丙和丁，此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，改變選取的順序：先選丙擔(dān)任部長(zhǎng)后選丁擔(dān)任副部長(zhǎng)，以及先選丁擔(dān)任部長(zhǎng)后選丙擔(dān)任副部長(zhǎng)，丙和丁的職位發(fā)生了變化，產(chǎn)生了不同的結(jié)果。即改變順序?qū)Y(jié)果并產(chǎn)生了影響，根據(jù)上題所講的判定方法，應(yīng)該采用排列數(shù)運(yùn)算，共有種派遣方式，故選C。
三、多者合作怎么辦，特值大法來(lái)幫忙
方法一：已知多個(gè)主體完工時(shí)間，一般將工作量設(shè)為1或多個(gè)完工時(shí)間的公倍數(shù)。
【例1】有兩箱數(shù)量相同的文件需要整理，小張單獨(dú)整理好一箱文件要用4.5小時(shí)，小錢(qián)要用9小時(shí)，小周要用3小時(shí)。小周和小張一起整理第一箱文件，小錢(qián)同時(shí)開(kāi)始整理第二箱文件。一段時(shí)間后，小周又轉(zhuǎn)去和小錢(qián)一起整理第二箱文件，最后兩箱文件同時(shí)整理完畢，則小周和小張、小錢(qián)一起整理文件的時(shí)間分別是？( )
A.1小時(shí)，2小時(shí) B.1.5小時(shí)，1.5小時(shí) C.2小時(shí)，1小時(shí) D.1.2小時(shí)，1.8小時(shí)
【解析】答案：A。設(shè)每箱文件的工作量是45，則總的工作量是45×2=90，小張、小錢(qián)、小周每小時(shí)分別整理10、5、15。由90÷(10+5+15)=3，即3小時(shí)后同時(shí)完成工作。第一箱文件，小張整理了10×3=30，則小周整理了45-30=15，整理了15÷15=1小時(shí)，故本題選A。
方法二：已知多個(gè)主體效率關(guān)系時(shí)，一般根據(jù)效率關(guān)系將效率最簡(jiǎn)比設(shè)為份數(shù)。
【例2】甲、乙兩臺(tái)灑水車(chē)合作給一片花園灑水，7小時(shí)可以完成。兩灑水車(chē)共同合作5小時(shí)后，甲隊(duì)所有隊(duì)員及乙隊(duì)人數(shù)的調(diào)走去灑其他花園，又經(jīng)過(guò)6小時(shí)，全部灑完，甲隊(duì)單獨(dú)給這片花園灑水需要( )小時(shí)。
A.12 B.15 C.10 D.20
【解析】答案:A。根據(jù)題意可得，甲、乙合作2小時(shí)的工作量和乙
的人數(shù)工作6小時(shí)的工作量相等，即=乙×6，化簡(jiǎn)可得甲、乙效率比為7：5。設(shè)甲的效率為7，乙的效率為5，甲隊(duì)單獨(dú)給這片花園灑水需要7×。故選A。
四、巧解年齡差不等的年齡問(wèn)題
如果年齡差不相等，考慮有人未出生
【例1】在一個(gè)家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲。家庭成員中有父親、母親、一個(gè)女兒和一個(gè)兒子，父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲。四年前家庭所有人的年齡總和是58歲，現(xiàn)在兒子多少歲?( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】答案：A。四個(gè)人經(jīng)過(guò)4年年齡和應(yīng)該增加4×4=16歲，但是實(shí)際為73-58=15歲，年齡差不相等，說(shuō)明4年前兒子還沒(méi)出生，實(shí)際年齡差小1歲，說(shuō)明現(xiàn)在兒子應(yīng)該為4-1=3歲，故本題答案為A。
【例2】小強(qiáng)的爸爸比小強(qiáng)的媽媽大3歲，全家三口的年齡總和是74歲，9年前這家人年齡總和是49歲，那么小強(qiáng)的媽媽今年多少歲?( )
A.32 B.33 C.34 D.35
【解析】答案：A。經(jīng)過(guò)9年三人的年齡之和應(yīng)該增加9×3=27歲，但是實(shí)際是74-49=25歲，年齡差不相等，說(shuō)明9年前小強(qiáng)還未出生，實(shí)際年齡差小2歲，說(shuō)明小強(qiáng)現(xiàn)在應(yīng)該是9-2=7歲，則今年爸爸、媽媽年齡之和是74-7=67歲，爸爸比媽媽大3歲，則媽媽年齡是(67-3)÷2=32歲，故本題答案為A。
【例3】一個(gè)三口之家，爸爸比媽媽大3歲，現(xiàn)在他們一家人的年齡之和是80歲，10年前全家人的年齡之和是51歲，則女兒今年多少歲?( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】答案:C。經(jīng)過(guò)10年一家三口的年齡之和應(yīng)該增加3×10=30歲，但是實(shí)際是80-51=29歲，年齡差不相等，說(shuō)明女兒10年前沒(méi)有出生，實(shí)際年齡差小1歲，說(shuō)明女兒現(xiàn)在應(yīng)該是10-1=9歲，故本題答案為C。
五、數(shù)量關(guān)系之青蛙跳井問(wèn)題
一、基本模型
【例1】現(xiàn)有一口深10米的井，有一只青蛙在井底，青蛙每次往上跳的高度為5米，由于井壁比較光滑，青蛙跳一次就會(huì)往下滑3米，問(wèn)這只青蛙經(jīng)過(guò)幾次才能跳出這口井?( )
A.3 B.4次 C.5次 D.6次
【解析】答案：C。閱讀題干，若青蛙往上跳5米為正，則往下滑3米為負(fù)，一正一負(fù)的交替上升。將一正一負(fù)作為一個(gè)周期，則一個(gè)周期內(nèi)升5 (-3)=2米。一個(gè)周期內(nèi)上跳1次，有的同學(xué)認(rèn)為10÷2=5，即跳5次就可以出井，事實(shí)上這是不對(duì)的。我們可以確定的是，青蛙是在上跳的過(guò)程中出井，而不是在下滑的過(guò)程中。那么我們就要在井口預(yù)留一個(gè)一下能跳出的距離(5米，即周期峰值)，當(dāng)青蛙跳到離井口5米之內(nèi)，再跳一次就可以跳出井?？偢叨仁?0米，一個(gè)周期前進(jìn)2米，(10-5)÷2=2.5，兩個(gè)周期不能滿足，即需要三個(gè)周期跳到離井口5米范圍內(nèi)，一個(gè)周期需要跳一次，三個(gè)周期即跳三次，此時(shí)青蛙再上跳一次即可跳出井口，即一共需要3+1=4次跳出井口。
總結(jié)一下解題方法：
1.找周期：周期值和周期峰值
2.計(jì)算周期數(shù)
3.計(jì)算總次數(shù)。總次數(shù)=周期所用次數(shù) 周期峰值所用次數(shù)。
二、青蛙跳井的應(yīng)用
【例1】甲乙兩人計(jì)劃從A地步行去B地，乙早上7：00出發(fā)，勻速步行前往，甲因事耽誤，9：00才出發(fā)。為了追上乙，甲決定跑步前進(jìn)，跑步的速度是乙步行的2.5倍，但是跑半小時(shí)都需要休息半小時(shí)，那么什么時(shí)候才能追上乙?( )
A.10：20 B.12：10 C.14：30 D.16：10
【解析】答案：C。閱讀題干，結(jié)合2.5倍關(guān)系，設(shè)乙的速度為2，則甲的速度為5。乙出發(fā)2小時(shí)后，甲才出發(fā)，此時(shí)兩人相距4，甲比乙多跑4就能追上乙。甲每跑半小時(shí)都需要休息半小時(shí)，則前半小時(shí)，甲比乙多跑(5-2)×0.5=1.5，后半小時(shí)，甲比乙多跑(0-2)×0.5=-1。
(1)找周期：一個(gè)周期1個(gè)小時(shí)，一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)甲追乙距離：1.5-1=0.5，即周期值為0.5;周期峰值為1.5;
(2)計(jì)算周期數(shù)：(4-1.5)÷0.5=5，即5個(gè)周期;
(3)計(jì)算總時(shí)間。經(jīng)過(guò)5個(gè)周期后還差1.5就可以追上，此時(shí)再經(jīng)過(guò)半小時(shí)即可追上，總時(shí)間為5+0.5=5.5小時(shí)。所以9:00再過(guò)5.5小時(shí)就可以追上，即14:30追上。
六、如何學(xué)習(xí)數(shù)字推理
(一) 數(shù)字敏感
所謂數(shù)字敏感指的是我們見(jiàn)到數(shù)字后的發(fā)散性思維。當(dāng)我們看到一個(gè)數(shù)時(shí)，能夠下意識(shí)的聯(lián)想到一些特殊數(shù)或者找到數(shù)本身的屬性或者是其他的表達(dá)形式。對(duì)與特殊數(shù)字臨近的數(shù)字要產(chǎn)生聯(lián)想，比如看到數(shù)字7,7可以聯(lián)想成：7=23-1=32-2.要想真正地培養(yǎng)出對(duì)數(shù)字的敏感度，還是在于我們平時(shí)對(duì)于一些特殊數(shù)字的積累。主要是一些多次方數(shù)：
(1)1～21的二次方
11=121 12=144 13=169 14=196 15=225
16=256 17=289 18=324 19=361 21=441
(2)1～11的三次方
2=8 3=27 4=64 5=125 6=216
7=343 8=512 9=729 10=1000 11=1331
(3)2的1～10次方
2=16 2=32 2=64 2=128 2=256
2=512 2=1024
(4)1～5的1至5次方
3=9 3=27 3=81 3=243
4=16 4=64 4=256 4=1024
5=25 5=125 5=625 5=3125
(二)數(shù)列敏感
所謂的數(shù)列敏感，指的是我們考試的時(shí)候，考題的題干往往是以一個(gè)不完整的數(shù)列給出的，所以這時(shí)候當(dāng)我們看到一個(gè)數(shù)列時(shí)，我們要在腦海里快速地反映出?？嫉南嚓P(guān)相近數(shù)列，這樣能夠幫助我們分析確定考查的是哪一類(lèi)型數(shù)列或數(shù)列變式，從而根據(jù)我們給大家總結(jié)的數(shù)列規(guī)律來(lái)快速解題。數(shù)字推理主要考查的數(shù)列類(lèi)型有：等差數(shù)列、和數(shù)列、倍數(shù)數(shù)列、乘積數(shù)列、多次方數(shù)列、分式數(shù)列、組合數(shù)列等。
1.等差數(shù)列
等差數(shù)列題型特征：數(shù)列一般單調(diào)遞增，相鄰兩數(shù)字變化不大(相差1-3倍)，常常給出5個(gè)及以上數(shù)。
等差數(shù)列解題方法：逐差法(一次或多次)。
【例1】2,6，12，20，30,( )
【解析】先觀察，由于給出的數(shù)列相鄰數(shù)字之間變化幅度不大且呈現(xiàn)出單調(diào)性，因此我們考慮是否考查的是等差數(shù)列，接下來(lái)我們就去逐差，經(jīng)過(guò)一次逐差后，我們發(fā)現(xiàn)新形成的數(shù)列為4,6,8,10，(12)是一個(gè)偶數(shù)列，因此此題的答案為30+12=(42)。
2.和數(shù)列
和數(shù)列題型特征：數(shù)列一般前幾個(gè)數(shù)為小數(shù)字且相鄰數(shù)字之間變化幅度不大。
和數(shù)列解題方法：相鄰兩項(xiàng)或三項(xiàng)相加得到后項(xiàng)找出規(guī)律。
【例2】-1,2,0,4,4，（ ）
【解析】先觀察，相鄰數(shù)字之間變化幅度不大，可以?xún)?yōu)先考慮逐差或加和，我們經(jīng)過(guò)試錯(cuò)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)題目考的是和數(shù)列，將相鄰兩項(xiàng)相加可以得到一個(gè)新數(shù)列：1,2,4,8(16)，是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列。因此括號(hào)里應(yīng)該填16-4=(12)。
3.倍數(shù)數(shù)列
倍數(shù)數(shù)列題型特征：大部分呈單調(diào)，變化幅度稍大。
倍數(shù)數(shù)列解題方法：先看大數(shù)規(guī)律。
【例3】2,14,84,420,1680，( )
【解析】先觀察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)整體變化幅度還是比較大的，所以這種情況下我們一般不考慮逐差或加和，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)1680和前面的420剛好是4倍的關(guān)系，往前再推，420與84是5倍的關(guān)系，因此此題我們將相鄰兩項(xiàng)用后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)，可以得到一個(gè)新數(shù)列：7,6,5,4，(3)，這是一個(gè)首項(xiàng)為7，公差等于-1的等差數(shù)列，因此括號(hào)里應(yīng)填的是1680×3=(5040)。
4.乘積數(shù)列
乘積數(shù)列題型特征：大部分呈單調(diào)，變化幅度較大。
乘積數(shù)列解題方法：將相鄰兩項(xiàng)或三項(xiàng)乘積之后再找規(guī)律。
【例4】4,3,10,27,265，( )
【解析】先觀察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)此題既不是考查等差數(shù)列、和數(shù)列，也不是倍數(shù)數(shù)列，我們通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)10,27,265這三個(gè)數(shù)存在10×27-5=265這樣的一個(gè)乘積關(guān)系，往前推，3,10,27這三個(gè)數(shù)存在3×10-3=27，依次往前推，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)此題的規(guī)律是從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)=前面兩項(xiàng)之積-質(zhì)數(shù)列。因此括號(hào)里要填的是27×265-7=(7148)。
