行測數(shù)量關(guān)系：利潤問題這樣解更速度
行測“錢多多”之巧解利潤問題
“明日復(fù)明日，明日何其多。我生待明日，萬事成蹉跎?！毙袦y備考不容拖沓，利潤問題又是行測考試中的高頻考點(diǎn)，如何更順利解決利潤問題，接下來政華公考帶領(lǐng)大家進(jìn)入到利潤問題的學(xué)習(xí)中！
基本計(jì)算關(guān)系式
解題方法
1.如果題干描述的量比較單一，可直接利用利潤問題的基本公式進(jìn)行求解。
例1：某早餐店試營業(yè)主打套餐每份成本8元，售價(jià)26元。當(dāng)天賣不完的主打套餐不再出售，在過去兩天時(shí)間里，餐廳每天都會(huì)準(zhǔn)備200份主打套餐，第一天剩余20份主打套餐，第二天全部賣光。問這兩天該早餐店主打套餐共盈余多少元？（ ）
A.6680 B.6840 C.7000 D.7160
【答案】A【解析】這兩天早餐店的總成本是200×2×8=3200元，總售價(jià)是(200×2-20)×26=9880元，則這兩天該早餐店主打套餐共盈余9880-3200=6680元。故本題選A。
2.如果題干描述的量比較多，可通過列表梳理各個(gè)量之間的聯(lián)系，再建立等量關(guān)系求解。
例2：某家具店購進(jìn)一批桌椅，每套進(jìn)價(jià)200元，按期望獲利50%定價(jià)出售。賣掉這批桌椅的60%以后，店主為提前收回資金，打折出售余下的桌椅。售完全部桌椅后，實(shí)際利潤比期望利潤低了18%。問：余下的桌椅是打幾折出售的？（ ）
A.七五折 B.八二折 C.八五折 D.九五折
【答案】C【解析】設(shè)總銷量為m件，打了10n折。
期望總利潤為100m元，實(shí)際利潤為100m×(1-18%)=82m元，故60m+(300n-200)×0.4m=82m元，方程左右兩邊可約去m，解得n=0.85，即余下的桌椅是打八五折出售的。故選C。
通過計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)，等號左右兩邊的銷量m可約掉，因此銷量m的取值對最終結(jié)果無影響，故在進(jìn)行求解時(shí)同學(xué)們也可直接將銷量設(shè)為特值。
政華公考相信同學(xué)們對于利潤問題求解有了進(jìn)一步的了解，希望大家接下來多加練習(xí)，考試再難也不怕，擼起袖子加油干！
兩數(shù)之積的增長率在行測利潤問題中的應(yīng)用
同學(xué)們做行測題目時(shí)常常會(huì)遇到利潤問題，這個(gè)知識點(diǎn)難度不大關(guān)鍵在于方法的選擇。今天政華公考給大家分享利潤問題中如何利用兩數(shù)之積的增長率公式快速解題。
例1：某鋼鐵廠生產(chǎn)一種特種鋼材，由于原材料價(jià)格上漲，今年這種特種鋼材的成本比去年上升了20%。為了推銷該種鋼材，鋼鐵廠仍然以去年的價(jià)格出售，這種鋼材每噸的盈利下降40%，不過銷售量比去年增加了80%，那么今年生產(chǎn)該種鋼材的總盈利比去年增加了多少？( )
A.4% B.8% C.20% D.54%
【答案】B【解析】方法一，分析題干，鋼材的總盈利=鋼材的每噸盈利×鋼鐵的銷售量。設(shè)去年的每噸盈利為x，銷量為y，可得總盈利為xy；則今年每噸盈利為x(1-40%)=0.6x，銷量為y(1+80%)=1.8y，可得總盈利為0.6x×1.8y=1.08xy。故今年生產(chǎn)該種鋼材的總盈利比去年增加了
故選B項(xiàng)。
由方法一我們不難看出，此題可以用方程法來進(jìn)行求解，但是由于未知數(shù)比較多，同學(xué)們計(jì)算的時(shí)候也會(huì)更加復(fù)雜。今天政華公考給大家總結(jié)規(guī)律，幫助大家更快速求解題目。
例2：有一本暢銷書，今年每冊書的成本比去年增加了10%，因此每冊書的利潤下降了20%，但是今年的銷量比去年增加了70%。則今年銷售該暢銷書的總利潤比去年增加了：( )。
A.36% B.25% C.20% D.15%
【答案】A【解析】題目當(dāng)中暢銷書的總利潤=每冊書的利潤×銷量，即出現(xiàn)
通過上面兩個(gè)例題，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)若掌握兩數(shù)之積的增長率公式可以快速解決利潤問題。你還能想到哪些概念可以用此方法嗎？
一元二次函數(shù)在行測利潤題目中的應(yīng)用
利潤問題是行測考試中的?？碱}型，其中求利潤或收入最大值的題目出現(xiàn)頻率較高，這類題利潤=單價(jià)×銷量，單價(jià)以及銷量都在變，概念多且變化讓同學(xué)頭疼不已，其實(shí)這類題就是紙老虎，看著難，一學(xué)都覺得簡單。今天政華公考就帶著大家學(xué)習(xí)一下利用極值思想求解的利潤問題，我們先來看一道例題：
例1：某商店購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品，如果以單價(jià)30元銷售，那么半個(gè)月內(nèi)可以售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件。將售價(jià)定為多少元，才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤？（ ）
A.34 B.35 C.36 D.37
【答案】B【解析】根據(jù)題意，每次漲價(jià)，銷量就會(huì)隨之下降，要求的是最大利潤，而總利潤=單件利潤×銷量，因此總利潤會(huì)隨著單件利潤和銷量的變化而變化。
按原價(jià)出售單件利潤為30-20=10元，半個(gè)月可以銷售400件，而此時(shí)每漲價(jià)1元就會(huì)少賣20件，我們不妨設(shè)漲價(jià)x元，銷量對應(yīng)為(400-20x)件，那么可以得到總利潤=(10+x)×(400-20x)，即為一個(gè)一元二次方程，怎么求最值呢？可以借助函數(shù)圖像來理解：
其函數(shù)圖像為一個(gè)拋物線。我們要求最大總利潤，即拋物線對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)。此時(shí)令總利潤為0，可得拋物線與x軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，即10+x=0或400-20x=0，
而拋物線對稱軸即為與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的中間值。
總利潤有最大值，
那么應(yīng)漲價(jià)5元，售價(jià)定為30+5=35元，選擇B選項(xiàng)。
例2：某大型批發(fā)超市銷售某種零食，平均每天可售出20箱，每箱收入40元.為了擴(kuò)大銷售、增加收入，該店采取了降價(jià)措施，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低2元，平均每天可多售出5箱.問每箱商品降價(jià)多少元時(shí)每天所得收入最大？（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】C【解析】由題意每降價(jià)2元就會(huì)多賣5箱，如果我們設(shè)降價(jià)x元，
可以看出，這樣的設(shè)法增加了表示銷量的難度，且存在分?jǐn)?shù)也加大了計(jì)算的難度。既然每降1個(gè)2元可多售出5箱，那不妨設(shè)降了x個(gè)2元，則可以多賣5x箱，總收入=(40-2x)×(20+5x)，與例1相同，我們要求最大總收入，此時(shí)可令總收入為0，那么可得40-2x=0或20+5x=0，
那么應(yīng)降價(jià)8個(gè)2元即降價(jià)16元，故選擇C選項(xiàng)。
總結(jié)：通過上述兩道例題，可以得出三點(diǎn)解題思路：
1.若題目表述為“每提(降)價(jià)n元，銷量減少(增加)m件”，則設(shè)提(降)價(jià)x個(gè)n元；
2.利用基本公式“總利潤(總收入)=單個(gè)利潤(單個(gè)收入)×銷量”構(gòu)造等量關(guān)系；
3.令總收入/總利潤為0，
政華公考希望同學(xué)們通過學(xué)習(xí)能夠在行測考試中靈活運(yùn)用思路快速解題。
均值不等式巧解利潤最值問題
利潤問題是行測考試中數(shù)量關(guān)系部分的一種題型，這種題型中有一類考點(diǎn)，即求利潤的最值，此類題目在求解過程中往往會(huì)出現(xiàn)一元二次函數(shù)，如何簡便快速地求解一元二次函數(shù)的極值，下面就為大家介紹一種方法，即利用均值不等式來求解。
均值不等式的一種表達(dá)形式如下，
如果a、b均為非負(fù)實(shí)數(shù)，那么
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。
由上述表達(dá)式，我們可以得到如下結(jié)論：已知a、b均為正數(shù)，若a+b為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，ab取得最大值。
示例：已知x>0，y>0，且2x+5y=20，則xy的最大值是多少？
在這道題目中，2x相當(dāng)于a，5y相當(dāng)于b，則a+b=20，是定值，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即2x=5y時(shí)，2x×5y存在最大值，因?yàn)?x=5y且加和等于20，所以2x=5y=10，求出2x×5y=10xy=100，即xy最大值為10。
應(yīng)用
例1：某商場銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴(kuò)大銷售增加盈利盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件，每件襯衫降低( )元時(shí)，商場每天盈利最多。
A.12 B.15 C.20 D.25
【答案】B【解析】接下來通過本題的解析我們梳理此類題目的解題思路：
(1)找等量關(guān)系，列方程。
本題所求為利潤最值問題，結(jié)合條件可以得出等量關(guān)系：總利潤=單件利潤×銷量。分析可得如果售價(jià)下降1元在成本不變的情況下利潤即下降1元，同時(shí)銷量會(huì)增加2件，這道題可以設(shè)每件襯衫的售價(jià)下降了x元，商場的總利潤為y元，那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。
(2)湊配定和，求極值。
y=(40-x)×(20+2x)，由前面學(xué)習(xí)的均值不等式的結(jié)論可知，要想求兩部分乘積的最大值，需要這兩部分的加和為定值，而我們會(huì)發(fā)現(xiàn)40-x和20+2x的加和并不是常數(shù)，所以不為定值，那么就需要未知數(shù)在加和后抵消掉，則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x)，此時(shí)40-x與10+x的和為定值，所以當(dāng)且僅當(dāng)40-x=10+x，即x=15時(shí)，y存在最大值，答案為B。
例2：某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑，問房價(jià)為多少元時(shí)賓館利潤最大？（ ）
A.260 B.280 C.300 D.340
【答案】D【解析】總收入最多則利潤最大，所以需要求出總收入的最大值，通過題干條件可得等量關(guān)系為：總收入=房間單價(jià)×入住房間數(shù)量，房價(jià)增加會(huì)使入住房間數(shù)減少，此時(shí)可設(shè)房價(jià)增加了x個(gè)10元，總收入為y元，可得y=(180+10x)×(50-x)，想求兩個(gè)部分乘積的最大值，需要使兩部分加和為定值，可將方程變形為y=10×(18+x)×(50-x)，當(dāng)且僅當(dāng)18+x=50-x，即x=16時(shí)，y取最大值，此時(shí)每個(gè)房間的價(jià)格為180+10×16=340元，故答案為D。
通過上述例題我們可以發(fā)現(xiàn)，利潤最值問題采用均值不等式的思想來求解是非常簡單的，希望同學(xué)們能夠多看幾遍，充分吸收，做到熟能生巧、舉一反三。
